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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
3.
Encuentre los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones
a) $f(x)=x^{2} e^{-x}$
a) $f(x)=x^{2} e^{-x}$
Respuesta
Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ vamos a seguir los pasos que vimos en clase.
1) Identificamos el dominio de $f(x)$
El dominio de $f$ es $\mathbb{R}$.
2) Derivamos $f(x)$
\( f'(x) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x} \)
3) Igualamos \( f'(x) \) a cero
$2x e^{-x} - x^2 e^{-x} = 0$
Saco factor común $x \cdot e^{-x}$
\( x e^{-x} (2 - x) = 0 \)
Tres cosas multiplicándose que nos está dando cero, pero acordate que la exponencial nunca puede valer cero. Así que esta multiplicación puede dar cero si $x =0$ y si $2-x = 0$, o lo que es equivalente, $x=2$.
Por lo tanto, $f$ tiene puntos críticos en $x=0$ y $x=2$
4) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) \( (-\infty, 0) \)
b) \( (0, 2) \)
c) \( (2, +\infty) \)
5) Evaluamos el signo de \( f'(x) \)
En \( (-\infty, 0) \Rightarrow f'(x) < 0 \rightarrow \) Por lo tanto \( f \) es decreciente
En \( (0, 2) \Rightarrow f'(x) > 0 \rightarrow \) Por lo tanto \( f \) es creciente
En \( (2, +\infty) \Rightarrow f'(x) < 0 \rightarrow \) Por lo tanto \( f \) es decreciente
Entonces, recapitulando:
Intervalo de crecimiento: $(0,2)$
Intervalo de decrecimiento: $(-\infty, 0) \cup (2,+\infty)$